已知函數(shù)f(x)=
1(x+1)2
(x≠-1)

(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,1)的切線方程;
(2)已知數(shù)列{xn}的項(xiàng)滿足xn=(1-f(1))(1-f(2))•…•(1-f(n)),試求x1,x2,x3,x4;
(3)猜想{xn}的通項(xiàng),并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
分析:(1)欲求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,1)的切線方程,只需求出切線的斜率,即求出函數(shù)在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值,從而求出所求;
(2)根據(jù)數(shù)列{xn}的項(xiàng)滿足xn=(1-f(1))(1-f(2))•…•(1-f(n)),將n=1,2,3,4分別代入,可求出x1,x2,x3,x4的值;
(3)根據(jù)(2)可猜想{xn}的通項(xiàng),然后根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟進(jìn)行證明,解題的關(guān)鍵利用xk+1=xk(1-f(k+1))進(jìn)行求解.
解答:解:(1)∵f(x)=
1
(x+1)2
(x≠-1)
,
∴f′(x)=-
2
(x+1)3
則f′(0)=-2
∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,1)的切線方程為y-1=(-2)×(x-0)即2x+y-1=0
(2)∵f(x)=
1
(x+1)2
(x≠-1)
,
∴f(1)=
1
4
,f(2)=
1
9
,f(3)=
1
16
,f(4)=
1
25

∴x1=1-f(1)=1-
1
4
=
3
4
,x2=(1-f(1))(1-f(2))=
3
4
×
8
9
=
2
3
=
4
6

x3=(1-f(1))(1-f(2))(1-f(3))=
3
4
×
8
9
×
15
16
=
5
8
,
x4=(1-f(1))(1-f(2))(1-f(3))(1-f(4))=
3
4
×
8
9
×
15
16
×
24
25
=
3
5
=
6
10
,
(3)猜想{xn}的通項(xiàng)為xn=
n+2
2n+2

①當(dāng)n=1時(shí),x1=1-f(1)=1-
1
4
=
3
4
,滿足通項(xiàng)公式;
②假設(shè)n=k時(shí)成立則xk=
k+2
2k+2

則n=k+1時(shí),xk+1=(1-f(1))(1-f(2))•…•(1-f(k+1))=
k+2
2k+2
×(1-
1
(k+2)2
)=
k+3
2k+4
=
(k+1)+2
2(k+1)+2
,
∴當(dāng)n=k+1時(shí)成立
由①②可得xn=
n+2
2n+2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,以及數(shù)學(xué)歸納的應(yīng)用,同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的思想,屬于基礎(chǔ)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個(gè)函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時(shí)滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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