Question

定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+3同時(shí)滿(mǎn)足以下條件：
①f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)； ②f′（x）是偶函數(shù)；③f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=4lnx-m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx+c
∵f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（1）=3a+2b+c=0…①…（1分）
由f′（x）是偶函數(shù)得：b=0②…（2分）
又f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，f′（0）=c=-1③…（3分）
由①②③得：a=

1

3

，b=0，c=-1，
即f(x)=

1

3

x3-x+3…（4分）
（Ⅱ）由已知得：
若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x2-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x2+1
設(shè)h（x）=4lnx-x²+1
m＞h_min，對(duì)h（x）求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)在（0，

2

）大于零，（

2

，e）小于零，即h（x）先遞增再遞減，
當(dāng)x=

2

．m取最大值+∞，x=e 時(shí)，m取最小值5-e²．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（5-e²，+∞）．