直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠ABC=45°，其側(cè)面展開圖是邊長為8的正方形．E、F分別是側(cè)棱AA1、CC1上的動點，AE+CF=8．
（Ⅰ）證明：BD⊥EF；
（Ⅱ）P在棱AA1上，且AP=2，若EF∥平面PBD，求CF．
分析：（1）證明BDBD⊥平面AA1C1C，即可得到結(jié)論；
（2）利用線面平行的性質(zhì)得到線線平行，再利用線之間的數(shù)量關系，就可求得CF的長．
解答：（1）證明：連接AC，由ABCD是菱形得，AC⊥BD
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABC
∴AA1⊥BD
∵AA1∩AC=A
∴BD⊥平面AA1C1C
∵EF?平面AA1C1C
∴BD⊥EF
（2）解：連AC交BD與O，
∵EF∥平面PBD
∴EF∥PO
過點C作CQ∥OP交AA1于點Q
∵EF∥PO
∴EF∥QC
∴QE=CF
∵四邊形EFCQ為菱形．
∴O為AC的中點
∴P為AQ的中點
∴PQ=AP=2
∵AE+CF=AP+PQ+QE+CF=2+2+CF+CF=8
∴CF=2
點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理及性質(zhì)、線面平行的性質(zhì)定理，同時也考查了棱柱的有關知識．屬于常規(guī)題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面ABCD為梯形，BC∥AD，AA′=AB=
2
，AD=2BC=2，直線AD與面ABB'A'所成角為45°．
（Ⅰ）求證：DB⊥面ABB'A'；
（Ⅱ）求證：AD'⊥B'C；
（Ⅲ）求二面角D-AB'-B的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′，四邊形ABCD為正方形，AA′=2AB=2，E為棱CC′的中點．
（Ⅰ）求證：A′E⊥平面BDE；
（Ⅱ）設F為AD中點，G為棱BB′上一點，且BG=
14
BB′，求證：FG∥平面BDE；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下求二面角G-DE-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是菱形，∠ABC=60°，E、F分別是棱CC′與BB′上的點，且EC=BC=2FB=2．
（1）求證：平面AEF⊥平面AA′C′C；
（2）求截面AEF與底面ABCD的夾角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在高為1的直四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD是等腰梯形，AB=BC=CD=1，AD=2． 
（1）求異面直線BC'與CD'所成的角；
（2）求被截面ACD'所截的兩部分幾何體的體積比．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•崇明縣一模）如圖，在直四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、F、G分別是棱A1B1、AB、A1D1的中點．
（1）證明：直線GE⊥平面FCC1；
（2）求二面角B-FC1-C的大�。�

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