已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+1)ex,g(x)=2x3-3x2+a+2,其中a<0.
(Ⅰ)若a=-1,求f(x)的極大值;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[-1,1]時,f(x)的最小值不小于g(x)的最大值,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
分析:(Ⅰ)當(dāng)a=-1時,f'(x)=[x
2+(a+2)x+a+1]e
x=x(x+1)e
x,令f'(x)=0,解得x的值,分別解出f
′(x)>0與f
′(x)<0的x取值范圍得出單調(diào)區(qū)間,再利用極大值的判定定理即可得出;
(II)利用導(dǎo)數(shù)的運算法則分別求出g
′(x)與f
′(x),利用單調(diào)性先求出g(x)的最大值,再通過對a分類討論求出f(x)的最小值,利用f(x)
min≥g(x)
max解出即可.
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)a=-1時,f'(x)=[x
2+(a+2)x+a+1]e
x=x(x+1)e
x,
令f'(x)=0,得x
1=-1,x
2=0,
當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(0,+∞)f
′(x)>0;x∈(-1,0)時,f
′(x)<0.
可得f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上遞增,在(-1,0)上遞減,
所以

.
(Ⅱ)由g′(x)=6x
2-6x=6x(x-1)>0,得x>1或x<0.
可得g(x)在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,
所以g
max(x)=g(0)=a+2.
令f'(x)=0,得x
1=-1,x
2=-a-1.
①若-a-1≥1,即a≤-2時,f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,
所以f(x)
min=f(1)=(a+2)e,由(a+2)e≥a+2,得a=-2;
②∵a<0,∴-a-1>-1.
若-a-1<1,即a>-2時,f(x)在區(qū)間(-1,-a-1)上遞減,在區(qū)間(-a-1,1)上遞增,
所以

,
由(a+2)e
-a-1≥(a+2),得a≤-1,所以-2<a≤-1.
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為[-2,-1].
點評:本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等基礎(chǔ)知識與基本技能,考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力.