Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+

3

sinxcosx-1．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)中的恒等變換可求得f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，從而可求得其最小正周期；
（2）x∈[-

π

12

，

π

2

]⇒2x-

π

6

[-

π

3

，

5π

6

]⇒sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]，從而可求得函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin²x+

3

sinxcosx-1
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-1
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
∴函數(shù)f（x）=sin²x+

3

sinxcosx-1的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，
∴2x-

π

6

[-

π

3

，

5π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]，
∴f（x）∈[-

3 +1

2

，

1

2

]．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，考查正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性，屬于中檔題．