Question

11．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，且滿足$\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c-b}$．
（1）求角A的大小；
（2）若b=c=1，在邊AB，AC上分別取D，E兩點，將△ADE沿直線DE折，使頂點A正好落在邊BC上，求線段AD長度的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦、余弦定理，化簡可得cb=b²+c²-a²，即可求角A的大小；
（2）在圖（2）中連接DP，由折疊可知AD=PD，根據(jù)等邊對等角可得∠BAP=∠APD，又∠BDP為三角形ADP的外角，若設∠BAP為θ，則有∠BDP為2θ，再設AD=PD=x，根據(jù)正弦定理建立函數(shù)關系，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質得出正弦函數(shù)的最大值，進而得出x的最小值，即為AD的最小值．

解答 解：（1）∵$\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c-b}$，
∴$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{2c-b}$，
利用正弦、余弦定理，化簡可得cb=b²+c²-a²，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=60°；
（2）b=c=1，A=60°，△ABC是等邊三角形，顯然A，P兩點關于折線DE對稱
連接DP，圖（2）中，可得AD=PD，則有∠BAP=∠APD，
設∠BAP=θ，∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ，
再設AD=DP=x，則有DB=1-x，
在△ABC中，∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ，
∴∠BPD=120°-2θ，又∠DBP=60°，
在△BDP中，由正弦定理知$\frac{1-x}{sin（120°-2θ）}=\frac{x}{sin60°}$
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（120°-2θ）+\sqrt{3}}$，
∵0°≤θ≤60°，
∴0°≤120°-2θ≤120°，
∴當120°-2θ=90°，即θ=15°時，sin（120°-2θ）=1．
此時x取得最小值$\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$-3，且∠ADE=75°．
則AD的最小值為2$\sqrt{3}$-3．

點評 此題考查了折疊的性質，三角形的外角性質，正弦定理，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．