如圖，四邊形ABCD為矩形，且AD＝4，AB＝2，PA⊥平面ABCD，E為BC上的動點．

(1)當E為BC的中點時，求證：PE⊥DE；

(2)設PA＝1，在線段BC上存在這樣的點E，使得二面角P－ED－A的大小為．試確定點E的位置．

答案：
解析：

　　方法一：(2)證明：當為中點時，，從而為等腰直角三角形，則，同理可得，∴，于是，　2分

　　又，且，∴，　4分

　　∴，又，∴．　6分

　　(也可以利用三垂線定理證明，但必需指明三垂線定理)

　　(2)如圖過作于，連，則，

　　∴為二面角的平面角．　8分

　　設，則．

　　

　　

　　于是　10分

　　，有

　　解之得．

　　點在線段BC上距B點的處．　12分

　　方法二、向量方法．以為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖．　1分

　　(1)不妨設，則，

　　從而，　4分

　　于是，

　　所以所以　6分

　　(2)設，則，

　　則．　8分

　　易知向量為平面的一個法向量．設平面的法向量為，則應有

　　即解之得，令則，，

　　從而，　10分

　　依題意，即，解之得(舍去)，

　　所以點在線段BC上距B點的處．　12分


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四邊形ABCD與A′ABB′都是邊長為a的正方形，點E是A′A的中點，A′A⊥平面ABCD．
（1） 求證：A′C∥平面BDE；
（2） 求證：平面A′AC⊥平面BDE
（3） 求平面BDE與平面ABCD所成銳二面角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=
12
PD．
（Ⅰ）證明PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD為矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，PA=1，E為BC的中點．
（1）求點C到面PDE的距離；  
（2）求二面角P-DE-A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果它的一個外角∠DCE=64°，那么∠BOD
128°
128°
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=
12
PD．
（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角D-PQ-C的余弦值．

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