Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-a²x，其中a≥0．
（Ⅰ）若f′（0）=-4，求a的值，并求此時(shí)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f′（0）=-4列式求出a的值，進(jìn)一步求出f（1）和f′（1），由直線方程的點(diǎn)斜式得到曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間（0，2）上的極值，和端點(diǎn)值比較后得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-a²x，
∴f'（x）=3x²-2ax-a²，f'（0）=-a²=-4，
又a≥0，∴a=2．
又f'（1）=-5，f（1）=-5，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為5x+y=0；
（Ⅱ）x∈[0，2]，f'（x）=3x²-2ax-a²=（x-a）（3x+a）
令f'（x）=0，則x1=-

a

3

，x2=a．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=3x²≥0在[0，2]上恒成立，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，∴f（x）_min=f（0）=0；
（2）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，在區(qū)間[0，a）上，f'（x）＜0，在區(qū)間（a，2]上，f'（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，2]上單調(diào)遞增，且x=a是[0，2]上唯一極值點(diǎn)，∴∴
∴f(x)min=f(a)=-a3；
（3）當(dāng)a≥2時(shí)，在區(qū)間[0，2]上，f'（x）≤0（僅有當(dāng)a=2時(shí)f'（2）=0），
∴f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)min=f(2)=8-4a-2a2．
綜上所述，當(dāng)0≤a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為-a³，a≥2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為8-4a-2a²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過(guò)比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．是有一定難度題目．