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設平面上向量
a
=（cosα，sinα）（0°≤α＜360°），
b
=（-
1
2
，
3
2
）．
（1）試證：向量
a
+
b
與
a
-
b
垂直；
（2）當兩個向量
3
a
+
b
與
a
-
3
b
的模相等時，求角α．
分析：（1）利用向量加減法的坐標運算求出向量
a
+
b
與
a
-
b
的坐標，由向量數量積的坐標運算化簡可得向量
a
+
b
與
a
-
b
的數量積為0，則結論得證；
（2）利用向量的數乘運算和加減法運算求出向量
3
a
+
b
與
a
-
3
b
的坐標，由模相等得到模的平方向等，轉化為向量的平方相等后展開整理，由三角函數的值及角的范圍可得答案．
解答：（1）證明：因為
a
=(cosα，sinα)，
b
=(-
1
2
，
3
2
)，
所以
a
+
b
=(cosα-
1
2
，sinα+
3
2
)，
a
-
b
=(cosα+
1
2
，sinα-
3
2
)．
(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=(cosα-
1
2
，sinα+
3
2
)•(cosα+
1
2
，sinα-
3
2
)
=(cosα-
1
2
)(cosα+
1
2
)+(sinα+
3
2
)(sinα-
3
2
)
=cos2α-
1
4
+sin2α-
3
4
=0．
所以向量
a
+
b
與
a
-
b
垂直；
（2）解：由|
a
|=1，|
b
|=1，且|
3
a
+
b
|=|
a
-
3
b
|，平方得(
3
a
+
b
)2=(
a
-
3
b
)2，
整理得2
a
2-2
b
2+4
3
a
•
b
=0，即
a
•
b
=0．
所以
a
•
b
=(cosα，sinα)•(-
1
2
，
3
2
)=-
1
2
cosα+
3
2
sinα=0，
即cos（60°+α）=0，或tanα=
3
3
．
因為0°≤α＜360°，所以α=30°或α=210°．
點評：本題考查向量的數量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了數學轉化思想方法，訓練了三角函數的已知三角函數值求角的方法，考查了學生的計算能力，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

點P在平面上作勻速直線運動，速度向量
v
=（4，-3）（即點P的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為|
v
|個單位．設開始時點P的坐標為（-10，10），則5秒后點P的坐標為（　�。�
A、（-2，4）
B、（-30，25）
C、（10，-5）
D、（5，-10）

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科目：高中數學 來源： 題型：

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科目：高中數學 來源： 題型：

設命題p：非零向量
a
，
b
，|
a
|=|
b
|是(
a
+
b
)⊥(
a
-
b
)的充要條件；命題q：M為平面上一動點，A，B，C三點共線的充要條件是存在角α，使
MA
=sin2α
MB
+cos2α
MC
，則（　�。�

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科目：高中數學 來源：遼寧省沈陽二中2008－2009學年高三上學期期中考試(數學理) 題型：013

設平面上的向量滿足關系，又設與的模為1，且互相垂直，則與的夾角為

[　　]

A．

B．

C．

D．

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科目：高中數學 來源：2009高考遼寧省數學模擬試題分類匯編：平面向量 題型：013

設平面上的向量為1，且互相垂直，則的夾角為

[　　]

A．arccos

B．arccos

C．π－arccos

D．π－arccos

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