Question

（本小題滿分15分）在一次數(shù)學(xué)實踐活動課上，老師給一個活動小組安排了這樣的一個任務(wù)：設(shè)計一個方案，將一塊邊長為4米的正方形鐵片，通過裁剪、拼接的方式，將它焊接成容積至少有5立方米的長方體無蓋容器（只有一個下底面和側(cè)面的長方體）.該活動小組接到任務(wù)后，立刻設(shè)計了一個方案，如下圖所示，按圖1在正方形鐵片的四角裁去四個相同的小正方形后，將剩下的部分焊接成長方體(如圖2).請你分析一下他們的設(shè)計方案切去邊長為多大的小正方形后能得到的最大容積，最大容積是多少？是否符合要求？若不符合，請你幫他們再設(shè)計一個能符合要求的方案，簡單說明操作過程和理由. W ww.k s  5u.c om

Answer 1

解：(1)設(shè)切去正方形邊長為x，則焊接成的長方體的底面邊長為4－2x，高為x ，

所以V₁= (4－2x)²·x = 4(x³－4x² ＋ 4x)  (0<x<2) ．……….. ………..2

∴V₁^/ = 4(3x²－8x ＋ 4)，……….. ……….. ……….. 3

令V₁^/ = 0，即4(3x²－8x ＋ 4) = 0，解得x₁ = ，x₂ = 2 (舍去) ．--------4

∵  V₁在(0，2)內(nèi)只有一個極值，

∴ 當(dāng)x = 時，V₁取得最大值．<5,即不符合要求. ….…. …. 6

(2)重新設(shè)計方案如下：

如圖①，在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；如圖③，將圖②焊成長方體容器.新焊長方體容器底面是一個長方形，長為3，寬為2，此長方體容積V₂ = 3×2×1 = 6，顯然V₂>5．

故第二種方案符合要求．

 

          圖①                 圖②                        圖③

 …. …. …. …. …. …. ….12

注：第二問答案不唯一。