【題目】(2017安徽蚌埠一模)已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,F1,F2是橢圓的兩個焦點,P是橢圓上任意一點,且△PF1F2的周長是8+2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)圓T:(x-2)2+y2=,過橢圓的上頂點M作圓T的兩條切線交橢圓于E,F兩點,求直線EF的斜率.
【答案】(1)+y2=1. (2).
【解析】試題分析:
(1)由橢圓的離心率為可得a=4b,c=b,然后根據(jù)△PF1F2的周長可得b=1,a=4,從而可得橢圓的方程.(2)由題意知過點M與圓T相切的直線存在斜率,設(shè)其方程為y=kx+1,由直線與圓相切可得32k2+36k+5=0,從而得到,.然后分別求出兩切線與橢圓交點的橫坐標(biāo)和,最后根據(jù)斜率公式求解即可.
試題解析:
(1)由題意得e=,
∴a=4b,
∴c=b.
∵△PF1F2的周長是8+2,
∴2a+2c=8+2,
∴b=1,
∴a=4.
∴橢圓C的方程為+y2=1.
(2)由(1)得橢圓的上頂點為M(0,1),
又由題意知過點M與圓T相切的直線存在斜率,設(shè)其方程為l:y=kx+1,
∵直線y=kx+1與圓T相切,
∴,
整理得32k2+36k+5=0,
∴
由消去y整理得(1+16)x2+32k1x=0,
∴.
同理可得,
∴.
故直線EF的斜率為.
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【題目】以原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為:,在平面直角坐標(biāo)系中,直線的方程為(為參數(shù)).
(1)求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知直線交曲線于,兩點,求,兩點的距離.
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【題目】已知函數(shù),函數(shù).
(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若時,對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的最小值.
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【題目】已知橢圓: ()經(jīng)過點,且兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)動直線: (, )交橢圓于、兩點,試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點,使得以為直徑的圓恒過點.若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖所示,直角梯形中,,、分別是、上的點,且,.沿將四邊形翻折至,連接、、,得到多面體,且.
(Ⅰ)求多面體的體積;
(Ⅱ)求證:平面⊥平面.
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【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)(-1, 0)是橢圓的左焦點,過點F且方向向量為的光線,經(jīng)直線反射后通過左頂點D.
(I)求橢圓的方程;
(II)過點F作斜率為的直線交橢圓于A, B兩點,M為AB的中點,直線OM (0為原點)與直線交于點P,若滿足,求的值.
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【題目】隨著社會的發(fā)展,終身學(xué)習(xí)成為必要,工人知識要更新,學(xué)習(xí)培訓(xùn)必不可少,現(xiàn)某工廠有工人1000名,其中250名工人參加短期培訓(xùn)(稱為類工人),另外750名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為類工人),從該工廠的工人中共抽查了100名工人,調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù))得到類工人生產(chǎn)能力的莖葉圖(左圖),類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖(右圖).
(1)問類、類工人各抽查了多少工人,并求出直方圖中的;
(2)求類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù),并估計類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(3)若規(guī)定生產(chǎn)能力在內(nèi)為能力優(yōu)秀,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)在答題卡上完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為生產(chǎn)能力與培訓(xùn)時間長短有關(guān).能力與培訓(xùn)時間列聯(lián)表
短期培訓(xùn) | 長期培訓(xùn) | 合計 | |
能力優(yōu)秀 | |||
能力不優(yōu)秀 | |||
合計 |
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中.
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【題目】對于函數(shù),下列說法正確的有( )
①在處取得極大值;②有兩個不同的零點;
③;④若在上恒成立,則.
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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【題目】已知甲、乙兩位同學(xué)8次數(shù)學(xué)單元測試的成績構(gòu)成如下所示的莖葉圖,且甲同學(xué)成績的平均數(shù)比乙同學(xué)成績的平均數(shù)小2.
(1)求m的值以及乙同學(xué)成績的方差;
(2)若數(shù)學(xué)測試的成績高于85分(含85分),則視為優(yōu)秀.現(xiàn)對乙同學(xué)的成績進行深入分析,在乙同學(xué)的優(yōu)秀成績中任取2次成績,求至少有一次抽取的成績超過90分的概率.
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