如圖，菱形ABCD中，，平面ABCD，平面ABCD，

(1)求證：平面BDE；

(2)求銳二面角的大�。�

 

【答案】

（1）證明：見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用已有的垂直關(guān)系，以為原點(diǎn)，，為、軸正向，軸過(guò)且平行于，建立空間直角坐標(biāo)系通過(guò)計(jì)算，，得到，，

達(dá)到證明目的.

（2）由知（1）是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，利用 ,

確定得到，由<,>及二面角——為銳二面角，得解.

“向量法”往往能將復(fù)雜的證明問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成計(jì)算問(wèn)題，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的目的.

試題解析：（1）證明：連接、，設(shè)，

∵為菱形，∴，以為原點(diǎn)，，為、軸正向，軸過(guò)且平行于，建立空間直角坐標(biāo)系（圖1）， 2分

則，

，， 4分

∴ ，，∴，，

又，∴⊥平面. 6分

（2）由知（1）是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

,由 ,

得：， 8分

取，得，于是

<,> 10分

但二面角——為銳二面角，

故其大小為. 12分

考點(diǎn)：垂直關(guān)系，二面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（2012•閘北區(qū)二模）如圖，菱形ABCD中，AB=AC=1，其對(duì)角線的交點(diǎn)為O，現(xiàn)將△ADC沿對(duì)角線AC向上翻折，使得OD⊥OB．在四面體ABCD中，E在AB上移動(dòng)，點(diǎn)F在DC上移動(dòng)，且AE=CF=a（0≤a≤1）．
（1）求線段EF的最大值與最小值；
（2）當(dāng)線段EF的長(zhǎng)最小時(shí)，求異面直線AC與EF所成角θ的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，把菱形ABCD沿對(duì)角線BD折成二面角A-BD-C，AC=BD，空間中的點(diǎn)P滿足PA、PB、PC兩兩垂直，則下列命題中錯(cuò)誤的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

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（1）求證：EF⊥平面BDE；
（2）求銳二面角E-BD-F的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年上海市閘北區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，菱形ABCD中，AB=AC=1，其對(duì)角線的交點(diǎn)為O，現(xiàn)將△ADC沿對(duì)角線AC向上翻折，使得OD⊥OB．在四面體ABCD中，E在AB上移動(dòng)，點(diǎn)F在DC上移動(dòng)，且AE=CF=a（0≤a≤1）．
（1）求線段EF的最大值與最小值；
（2）當(dāng)線段EF的長(zhǎng)最小時(shí)，求異面直線AC與EF所成角θ的大小．

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