Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x²+m在[-1，1]上的最大值為$\frac{2}{3}$．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=x（x-2），當(dāng)x∈（-1，0）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0，由此能求出m．
（2）由函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x²+$\frac{2}{3}$，f′（x）=x（x-2），利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x²+m，
∴f′（x）=x（x-2），
當(dāng)x∈（-1，0）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0，
∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x²+m在[-1，1]上的最大值為$\frac{2}{3}$，
∴f（0）=m=$\frac{2}{3}$．
（2）由（1）得函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x²+$\frac{2}{3}$，
∴f′（x）=x（x-2），
由f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2，
∵f（-2）=-6，f（0）=$\frac{2}{3}$，f（2）=-$\frac{2}{3}$，
∴函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域為[-6，$\frac{2}{3}$]．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．