Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且，點(diǎn)在橢圓上，且的周長(zhǎng)為6.

（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，且三點(diǎn)共線．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）本小題中為焦點(diǎn)三角形，其周長(zhǎng)為，又，兩式組成方程組從而易求出，即可寫出橢圓方程；（2）本小題中直線的方程可設(shè)為（其中不存在是不可能的），與橢圓方程聯(lián)立消y,利用韋達(dá)定理與中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得M點(diǎn)坐標(biāo)（用k,m表示），當(dāng)三點(diǎn)共線，則有即可解出k的值，又消y后的方程的可得m的范圍，而點(diǎn)到直線的距離可用m表示，利用函數(shù)觀點(diǎn)可求出的取值范圍．

試題解析：（1）由已知得，且，解得，又，所以橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知：點(diǎn)在軸上，且與原點(diǎn)不重合，顯然三點(diǎn)不共線，不符合題設(shè)條件．所以可設(shè)直線的方程為，由消去并整理得： ①

則，即，設(shè)，且，則點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720344031247843/SYS201411172034449844990433_DA/SYS201411172034449844990433_DA.010.png">三點(diǎn)共線，則，即，而，所以，此時(shí)方程①為，且

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720344031247843/SYS201411172034449844990433_DA/SYS201411172034449844990433_DA.039.png">，所以.

考點(diǎn)：橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，性質(zhì)，直線與橢圓相交問題，設(shè)而不解思想，韋達(dá)定理，方程與函數(shù)思想，化歸思想.