Question

已知f(x)=loga(4x+

a

x

)在區(qū)間[1，2]上為增函數，則a的取值范圍是______．

Answer 1

f(x)=loga(4x+

a

x

)可看作由y=log_at與t=4x+

a

x

復合而成的，x∈[1，2]時，4x+

a

x

＞0．
①當a＞1時，y=log_at單調遞增，因為f（x）單調遞增，則須有t=4x+

a

x

，x∈[1，2]，單調遞增，
所以t′=4-

a

x2

≥0即a≤4x²在x∈[1，2]上恒成立，所以a≤4×1²=4，則1＜a≤4；
②當時，y=log_at單調遞減，因為f（x）單調遞增，則須有t=4x+

a

x

，x∈[1，2]，單調遞減，
所以t′=4-

a

x2

≤0即a≥4x²在x∈[1，2]上恒成立，所以a≥4×2²=16，與0＜a＜1矛盾．
綜上，a的取值范圍是（1，4]．
故答案為：（1，4]．