Question

在數(shù)列{a_n}中，如果存在非零常數(shù)T，使得a_m+T=a_m對于任意的非零自然數(shù)m均成立，那么就稱數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{a_n}的周期，已知數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N），如果x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），當(dāng)數(shù)列{x_n}的周期最小時，該數(shù)列的前2008項(xiàng)和是（ ）
A．669
B．670
C．1338
D．1339

Answer 1

【答案】分析：由x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），且x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），x₃=|x₂-x₁|=|1-a|．對進(jìn)行分類討論，得到當(dāng)a=1時，數(shù)列{x_n}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，它滿足：x_m+3=x_m，即最小周期為3，它從第一項(xiàng)起，每三項(xiàng)之和為1+1+0=2，再由，能求出數(shù)列的前2008項(xiàng)和．
解答：解：∵x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），
且x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），
∴x₃=|x₂-x₁|=|1-a|，
當(dāng)a≥1時，有：x₃=a-1，
x₄=|x₃-x₂|=|（a-1）-a|=1=x₁，
x₅=|x₄-x₃|=|1-（a-1）|=|2-a|，
①當(dāng)a≤2時，有：x₅=2-a
此時，若x₅=x₂，即：2-a=a，則：a=1
就有：
x₁=x₄=1，
x₂=x₅=1，
x₃=0
則，數(shù)列{x_n}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，它滿足：
x_m+3=x_m，即最小周期為3
②當(dāng)a＞2時，有：x₅=a-2，
此時，若x₅=x₂，即：a-2=a，顯然是不可能的．
（2）當(dāng)a＜1時，有：x₃=|x₂-x₁|=|a-1|=1-a，
x₄=|x₃-x₂|=|（1-a）-a|=|1-2a|
①當(dāng)0＜a≤時，有：x₄=1-2a，
x₅=|x₄-x₃|=|（1-2a）-（1-a）|=|a|=a=x₂，
此時，若x₄=x₁，即：1-2a=1，則：a=0
與已知矛盾，不符合條件．
②當(dāng)＜a＜1時，有：x₄=2a-1，
x₅=|x₄-x₃|=|（2a-1）-（1-a）|=3|a-1|=3（1-a）
此時，若x₃=x₁，即：1-a=1，則a=0，這與a≠0相矛盾．
若x₄=x₁，即：2a-1=1，則a=1，這與a＜1相矛盾．
若x₅=x₁，那么即使其成立，其周期為4，也大于前面求出的最小周期3，也可以不考慮．
③當(dāng)a＜0時，有：x₄=1-2a，
x₅=|x₄-x₃|=|（1-2a）-（1-a）|=|-a|=-a，
同樣存在上述②的情況．
綜上：當(dāng)a=1時，數(shù)列{x_n}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，
它滿足：x_m+3=x_m，即最小周期為3，
它從第一項(xiàng)起，每三項(xiàng)之和為1+1+0=2，則：，
∴數(shù)列的前2008項(xiàng)和S₂₀₀₈=669×2+1=1339．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．解題時要多次進(jìn)行分類討論，容易出錯．一定要細(xì)心計(jì)算，避免錯誤．