Question

設(shè)是橢圓的兩點(diǎn)，，，且，橢圓離心率，短軸長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓方程；

（2）若存在斜率為的直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)（為半焦距），求的值；

（3）試問(wèn)的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1） （2） （3）三角形的面積為定值1

【解析】

試題分析：（1）由解得

（2）設(shè)AB方程為，由

應(yīng)用韋達(dá)定理．

利用建立方程求解.

（3）討論當(dāng)ＡＢ的斜率不存在和當(dāng)AB斜率存在的情況，

在斜率存在時(shí)，設(shè)AB方程為

由　　

應(yīng)用韋達(dá)定理，利用,得到,

計(jì)算三角形的面積為定值1．

（1）由解得 2分

所求橢圓方程為 3分

（2）設(shè)AB方程為，由

． 4分

由已知:

5分

∴ 6分

解得 7分

（3）當(dāng)ＡＢ的斜率不存在時(shí)，則，，由得，

又，得，， 8分

當(dāng)AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB方程為

由　　

． 10分

又,即,

知, 11分

∴=

===1

所以三角形的面積為定值1． 13分

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，平面向量的數(shù)量積，分類討論思想.