Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞O），橢圓C焦距為：2c，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）．
（I）求橢圓c的方程；
（II）設(shè)點P（-

a2

c

，0），過點P的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當線段MN的中點落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形，可求幾何量，從而可得橢圓的方程；
（II）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，進而利用直線F₁B₂，F(xiàn)₁B₁的方程，可得G在正方形Q內(nèi)（包括邊界）的充要條件，由此可得直線l斜率的取值范圍．

解答：解：（I）由題設(shè)知，a²=8，b=c，∴b2=

1

2

a2=4
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（II）點P的坐標為（-4，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x+4）
如圖，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點為G（x₀，y₀），
y=k（x+4）代入橢圓方程，消去y可得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0
由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0，可得-

2

2

＜k＜

2

2

又x₁+x₂=-

16k2

1+2k2

，
∴x₀=

x1+x2

2

=-

8k2

1+2k2

，y₀=k（x₀+4）=

4k

1+2k2

∵x₀=-

8k2

1+2k2

≤0，
∴G不可能在y軸的右邊
又直線F₁B₂，F(xiàn)₁B₁的方程分別為y=x+2，y=-x-2，所以G在正方形Q內(nèi)（包括邊界）的充要條件為

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

，即

2k2+2k-1≤0 2k2-2k-1≤0

，解得-

3 -1

2

≤k≤

3 +1

2

，滿足-

2

2

＜k＜

2

2

故直線l斜率的取值范圍是[-

3 -1

2

，

3 +1

2

]．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．