Question

函數f（x）是定義在[0，1]上的函數，滿足f(x)=2f(

x

2

)，且f（1）=1，在每一個區(qū)間(

1

2i

 ， 

1

2i-1

]（i=1，2，3，…）上，y=f（x）的圖象都是斜率為同一常數k的直線的一部分，記直線x=

1

2n

，x=

1

2n-1

，x軸及函數y=f（x）的圖象圍成的梯形面積為a_n（n=1，2，3，…），則數列{a_n}的通項公式為

an=

4-k

22n+1

．

Answer 1

分析：先根據f（0）=2f（0），求出f（0）及f（1）的值，歸納總結得f（

1

2i

）=

1

2i

，然后當

1

2i

＜x≤

1

2i-1

時 f(x)=

1

2i-1

+k(x-

1

2i-1

)，ai=

1

2

[

1

2i-1

+

1

2i-1

+k(

1

2i

-

1

2i-1

)](

1

2i-1

-

1

2i

)=(1-

k

4

)

1

22i-1

(i=1，2，)所以{a_n}是首項為

1

2

(1-

k

4

)，公比為

1

4

的等比數列，從而求出a_n．

解答：解：由f（0）=2f（0），得f（0）=0
由 f(1)=2f(

1

2

)及f（1）=1，得 f(

1

2

)=

1

2

f(1)=

1

2

同理，f(

1

4

)=

1

2

f(

1

2

)=

1

4

歸納得 f(

1

2i

)=

1

2i

(i=1，2，)
當

1

2i

＜x≤

1

2i-1

時 f(x)=

1

2i-1

+k(x-

1

2i-1

)ai=

1

2

[

1

2i-1

+

1

2i-1

+k(

1

2i

-

1

2i-1

)](

1

2i-1

-

1

2i

)=(1-

k

4

)

1

22i-1

(i=1，2，)
所以{a_n}是首項為

1

2

(1-

k

4

)，公比為

1

4

的等比數列
∴an=

4-k

22n+1

故答案為：an=

4-k

22n+1

點評：本小題主要考查函數、數列等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題，有一定的難度．