Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+（a-2）x．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x=1垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x=1垂直則f′（1）=0，從而可求出a的值；
（Ⅱ）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，分類討論，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答：解：（Ⅰ） f′(x)=

1

x

-2ax+a-2=

-(2x-1)(ax+1)

x

，
∵曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x=1垂直，
∴f'（1）=-（a+1）=0，
解得：a=-1；
（Ⅱ）由題意可得，f（x）定義域?yàn)椋?，+∞）
（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′(x)=

1

x

-2ax+a-2=

-(2x-1)(ax+1)

x

，
①a≥0時(shí)，ax+1＞0，x＞0
由f′（x）＞0可得，x∈（0，

1

2

），由f′（x）＜0可得x∈（

1

2

，+∞），
∴f（x）在（0，

1

2

）單調(diào)遞增，在（

1

2

，+∞）單調(diào)遞減，
②a＜0時(shí)，令f′（x）=0可得x₁=

1

2

或x₂=

1

a

，
（i）當(dāng)-2＜a＜0時(shí)-

1

a

＞

1

2

，
由f′（x）＜0可得x∈（

1

2

，-

1

a

），由f′（x）＞0可得x∈（0，

1

2

），
故f（x）在（

1

2

，-

1

a

）單調(diào)遞減，在（0，

1

2

），（-

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增，
（ii）當(dāng)a＜-2時(shí)，同理可得f（x）在（-

1

a

，

1

2

）單調(diào)遞減，在（0，-

1

a

），（

1

2

，+∞）單調(diào)遞增，
（iii）當(dāng)a=-2時(shí)，f′（x）=

(2x-1)2

x

≥0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．