Question

橢圓C：的焦距為2，且過點，已知F為橢圓的右焦點，A、B為橢圓上的兩動點，直線l：x=2與x軸交于點G．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若動點A、B、G三點共直線l'，試求當(dāng)△AOB的面積最大時直線l'的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知，c=1，從而b²=a²-c²=1，故可求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點G的直線方程為x=my+2，代入橢圓方程，計算原點O到直線x=my+2的距離為，|AB|的長，表示出△AOB的面積，再換元，利用基本不等式求△AOB的面積最大，從而可求直線l'的方程．
解答：解：（1）由題意可知，c=1，
從而b²=a²-c²=1，所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)過點G的直線方程為x=my+2，代入橢圓方程，
得（m²+2）y²+4my+2=0（*）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則有，，
∴=
由于原點O到直線x=my+2的距離為，
∴
令m²-2=t，則由（*）式知△＞0，
∴m²-2＞0，故t＞0．
∴≤，當(dāng)且僅當(dāng)，即t=4是等號成立，此時m²=6．
∴時，△AOB面積最大，此時直線l的方程為．
點評：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運用，（2）問表示出三角形的面積，轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求解是關(guān)鍵．