Question

【題目】為了更好地貫徹黨的“五育并舉”的教育方針，某市要對(duì)全市中小學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”情況進(jìn)行了解，決定通過隨機(jī)抽樣選擇幾個(gè)樣本校對(duì)學(xué)生進(jìn)行體能達(dá)標(biāo)測(cè)試，并規(guī)定測(cè)試成績(jī)低于60分為不合格，否則為合格，若樣本校學(xué)生不合格人數(shù)不超過其總?cè)藬?shù)的5%，則該樣本校體能達(dá)標(biāo)為合格.已知某樣本校共有1000名學(xué)生，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生參加體能達(dá)標(biāo)測(cè)試，首先將這40名學(xué)生隨機(jī)分為甲、乙兩組，其中甲乙兩組學(xué)生人數(shù)的比為3:2，測(cè)試后，兩組各自的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：甲組的平均成績(jī)?yōu)?/span>70，方差為16，乙組的平均成績(jī)?yōu)?/span>80，方差為36.

（1）估計(jì)該樣本校學(xué)生體能測(cè)試的平均成績(jī)；

（2）求該樣本校40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差s；

（3）假設(shè)該樣本校體能達(dá)標(biāo)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值估計(jì)該樣本校學(xué)生體能達(dá)標(biāo)測(cè)試是否合格？

（注：1.本題所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)；2若隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布，則，，）

Answer 1

【答案】（1）74；（2）.（3）可估計(jì)該樣本校學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”測(cè)試合格.

【解析】

（1）由甲乙兩組學(xué)生人數(shù)可求得總均分；

（2）設(shè)第一組學(xué)生的測(cè)試成績(jī)分別為，第二組學(xué)生的測(cè)試成績(jī)分別為，由已知方差求得和，結(jié)合（1）可得總方差；

（3）由已知數(shù)據(jù)知，然后求出不合格的概率得不合格人數(shù)，從而得結(jié)論．

解：（1）由題知，甲、乙兩組學(xué)生數(shù)分別為24和16，

則這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均分

故可估計(jì)該樣本校學(xué)生體能測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?/span>74，.

（2）由變形得

設(shè)第一組學(xué)生的測(cè)試成績(jī)分別為，

第二組學(xué)生的測(cè)試成績(jī)分別為，

則第一組的方差為

，

解得.

第二組的方差為

解得.

這40名學(xué)生的方差為

，

所以.

綜上，標(biāo)準(zhǔn)差.

（3）由，，得的估計(jì)值為，的估計(jì)值

由，

得，

即

所以.

從而，在全校1000名學(xué)生中，“不合格”的有（人）

而，

故可估計(jì)該樣本校學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”測(cè)試合格.