Question

（2013•泰安一模）已知函數f（x）=（ax²+bx+c）e^x且f（0）=1，f（1）=0．
（I）若f（x）在區(qū)間[0，1]上單調遞減，求實數a的取值范圍；
（II）當a=0時，是否存在實數m使不等式2f（x）+4xe^x≥mx+1≥-x²+4x+1對任意x∈R恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意，函數f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上單調遞減且滿足f（0）=1，f（1）=0，可求出函數的導數，將函數在[0，1]上單調遞減轉化為導數在[0，1]上的函數值恒小于等于0，再結合f（0）=1，f（1）=0這兩個方程即可求得a取值范圍；
（II）當a=0時，若mx+1≥-x²+4x+1得，由二次函數知識求得m=4，在證明當m=4時，2f（x）+4xe^x≥mx+1對任意x∈R恒成立，g（x）=（2x+2）e^x-4x-1，只需g（x）＞0即可．

解答：解：（1）由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=-1，則f（x）=[ax²-（a+1）x+1]e^x，
∴f′（x）=[ax²+（a-1）x-a]e^x，
由題意函數f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上單調遞減可得對于任意的x∈（0，1），都有f′（x）＜0
當a＞0時，因為二次函數y=ax²+（a-1）x-a圖象開口向上，而f′（0）=-a＜0，所以只需要f′（1）=（a-1）e＜0，即a＜1，故有0＜a＜1；
當a=1時，對于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x²-1）e^x＜0，函數符合條件；
當a=0時，對于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=-xe^x＜0，函數符合條件；
當a＜0時，因f′（0）=-a＞0函數不符合條件；
綜上知，a的取值范圍是0≤a≤1

（II）當a=0時，f（x）=（1-x）e^x，假設存在實數m使不等式2f（x）+4xe^x≥mx+1≥-x²+4x+1對任意x∈R恒成立，

由mx+1≥-x²+4x+1得，x²+（m-4）x≥0恒成立，∴△=（m-4）²≤0，∴m=4．
下面證明：當m=4時，2f（x）+4xe^x≥mx+1對任意x∈R恒成立，即（2x+2）e^x≥4x+1對任意x∈R恒成立，
令g（x）=（2x+2）e^x-4x-1，g′（x）=（2x+4）e^x-4，∵g′（0）=0，
當x＞0時，2x+4＞4，e^x＞1，∴（2x+4）e^x＞4，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上單調遞增，

當x＜0時，2x+4＜4，0＜e^x＜1，∴（2x+4）e^x＜4，g′（x）＜0，g（x）在（-∞0，）上單調遞減，

∴g（x）min=g（0）=1＞0，∴g（x）＞0，即（2x+2）e^x≥4x+1對任意x∈R恒成立．

綜上所述，實數m=4使不等式2f（x）+4xe^x≥mx+1≥-x²+4x+1對任意x∈R恒成立．

點評：本題考查利用導數求函數在閉區(qū)間上的最值，利用導數研究函數的單調性，此類題解題步驟一般是求導，研究單調性，確定最值，求最值，解題的關鍵是把函數在閉區(qū)間上遞減轉化為函數的導數在此區(qū)間上小于等于0恒成立，將單調遞減的問題轉化為不等式恒成立是此類題常用的轉化思路，第二小題求恒成立參數的取值范圍，本題考查了轉化的思想，推理判斷的能力，計算量大，難度較大，極易因為判斷不準轉化出錯或計算出錯，常作為高考的壓軸題．