Question

10．在數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=1，b₁=2，且對于任意的正整數(shù)m，n滿足a_m+n=2a_ma_n，b_m+n=b_m+b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n；
（3）設(shè)d_n=$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$，T_n是數(shù)列{d_n}的前n項和，求使得T_n＜$\frac{m}{2013}$對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）令m=1，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，即可得到所求；
（2）運用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求；
（3）運用裂項相消求和可得T_n，再由不等式恒成立思想即可得到所求m的最小值．

解答 解：（1）令m=1可得a_1+n=2a₁a_n，b_1+n=b₁+b_n．
由a₁=1，b₁=2，
可得a_n=a₁•2^n-1=2^n-1，b_n=2+2（n-1）=2n；
（2）c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，
則S_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ，
2S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=2•$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
化簡可得S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（3）d_n=$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$，
由題意可得$\frac{m}{2013}$≥$\frac{1}{4}$，
解得m≥$\frac{2013}{4}$，
即有最小正整數(shù)m為504．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法和裂項相消法，考查數(shù)列的不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．