Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=n²+n（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求證：

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

＜1(n≥2且n∈N*)．

Answer 1

分析：（I）已知2S_n=n²+n（n∈N^*）．①，當(dāng)n≥2時，2S_n-1=（n-1）²+n-1②，兩式相減①-②得a_n=n，驗(yàn)證當(dāng)n=1時，a₁=1也滿足上式，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）根據(jù)

1

an-1an

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)，可得

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

) +…+(

1

n-1

-

1

n

)=1-

1

n

＜1

解答：（I）解：由2S_n=n²+n（n∈N^*）．①
當(dāng)n≥2時，2S_n-1=（n-1）²+n-1②
①-②得a_n=n
當(dāng)n=1時，a₁=1也滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n；
（II）證明：∵

1

an-1an

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

) +…+(

1

n-1

-

1

n

)=1-

1

n

＜1

點(diǎn)評：本題以數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，考查放縮法證明不等式，綜合性強(qiáng)．