Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N．
（1）求橢圓C的方程；  
（2）當(dāng)△AMN的面積為$\frac{4\sqrt{7}}{9}$時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，即a=2，由離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\sqrt{2}$，根據(jù)橢圓的性質(zhì)求得b=$\sqrt{2}$．即可求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得x₁+x₂，x₁x₂，利用弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線距離公式及三角形行的面積公式即可求得k的值．

解答 解�。�1）由題意得：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，即a=2，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\sqrt{2}$，
由橢圓的性質(zhì)可知：b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，
解得：b=$\sqrt{2}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由將直線方程代入橢圓方程整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0．
設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$．
∴|MN|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4+6{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$
又因?yàn)辄c(diǎn)A（2，0）到直線y=k（x-1）的距離d=$\frac{丨k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△AMN的面積為S=$\frac{1}{2}$|MN|•d=$\frac{丨k丨\sqrt{4+6{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$．
由$\frac{丨k丨\sqrt{4+6{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{7}}{9}$，
解得：k=±2．
∴k=±2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及三角形的面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．