Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c，其中a＞0，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線(xiàn)方程為y=1，
（1）確定b，c的值；
（2）設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））處的切線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)（0，2），證明：當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，f′（x₁）≠f′（x₂）；
（3）若過(guò)點(diǎn)（0，2）可作曲線(xiàn)y=f（x）的三條不同切線(xiàn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）求得f（0）=c，由f′（x）求得f′（0）=b；再由切線(xiàn)方程為y=1，得出b、c的值．
（2）由y=f（x）的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（0，2），寫(xiě)出切線(xiàn)方程，用反證法可以證明該方程滿(mǎn)足題目中的條件．
（3）過(guò)點(diǎn)（0，2）作y=f（x）的三條切線(xiàn)，等價(jià)于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三個(gè)相異的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)滿(mǎn)足某些條件，利用導(dǎo)數(shù)有解函數(shù)，得出a的取值．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c，
∴f（0）=c，f′（x）=x²-ax+b，f′（0）=b；
又∵y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線(xiàn)方程為y=1，
∴f（0）=1，f′（0）=0．
∴b=0，c=1．
（2）∵b=0，c=1時(shí)，f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+1，f′(x)=x2-ax．由于點(diǎn)(t，f(t))處的切線(xiàn)方程為
y-f（t）=f'（t）（x-t），而點(diǎn)（0，2）在切線(xiàn)上，
∴2-f（t）=f'（t）（-t），
化簡(jiǎn)得

2

3

t3-

a

2

t2+1=0，即t滿(mǎn)足的方程為

2

3

t3-

a

2

t2+1=0．
下面用反證法證明．
假設(shè)f'（x₁）=f'（x₂），由于曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））處的切線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)（0，2），
則下列等式成立：

2 3 x13- a 2 x12+1=0① 2 3 x23- a 2 x22+1=0② x12-ax1=x22-ax2③

；
由③得x₁+x₂=a，
由①-②得x12+x₁x₂+x22=

3

4

a²④；
又x12+x₁x₂+x22=(x1+x2)2-x₁x₂=a²-x₁（a-x₁）=x12-ax₁+a²=(x1-

a

2

)2+

3

4

a²≥

3

4

a²
∴由④得x₁=

a

2

，此時(shí)x₂=

a

2

，這與x₁≠x₂矛盾，∴f′（x₁）≠f′（x₂）．
（3）由（2）知，過(guò)點(diǎn)（0，2）可作y=f（x）的三條切線(xiàn)，等價(jià)于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三個(gè)相異的實(shí)根，
即等價(jià)于方程

2

3

t3-

a

2

t2+1=0有三個(gè)相異的實(shí)根；
設(shè)g（t）=

2

3

t³-

a

2

t²+1，
∴g′（t）=2t²-at=2t（t-

a

2

）；
∵a＞0，∴有

t	（-∞，0）	0	(0， a 2 )	a 2	( a 2 ，+∞)
g'（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↗	極大值1	↘	極小值1- a3 24	↗

由g（t）的單調(diào)性知：要使g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)1-

a3

24

＜0，
即a＞2

3	3

．
∴a的取值范圍是(2

3	3

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí)，也考查了綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力．