Question

（2013•鄭州一模）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）的導(dǎo)函數(shù)是y′=

1

1+x

，函數(shù)f(x)=ln(1+x)-

ax

1-x

(a∈R)
（I）當(dāng)a=1，-1＜x＜1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）a=1時(shí)求出導(dǎo)數(shù)f′（x），在（-1，1）內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得f（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可求得函數(shù)的最大值；
（II）求出函數(shù)的定義域、導(dǎo)數(shù)f′（x），分a≤0，a＞0兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)a≤0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)符號(hào)可求得單調(diào)區(qū)間；當(dāng)a＞0時(shí)，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解二次不等式，注意相應(yīng)二次方程兩根的范圍；

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ln(1+x)-

x

1-x

，f′(x)=

1

1+x

-

1

(1-x)2

=

x(x-3)

(1+x)(1-x)2

，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，在（0，1）上為減函數(shù)，
所以f_max（x）=f（0）=0，
所以當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為0．
（Ⅱ）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）∪（1，+∞），f′(x)=

1

1+x

-

a

(1-x)2

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，

1

1+x

＞0，

a

(1-x)2

≤0，所以f'（x）＞0，
則函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，1），（1，+∞），無(wú)減區(qū)間；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)=

1

1+x

-

a

(1-x)2

=

x2-(2+a)x+1-a

(1+x)(1-x)2

，
由f'（x）=0，得x²-（2+a）x+1-a=0，
此方程的兩根x1=

a+2- a2+8a

2

，x2=

a+2+ a2+8a

2

，
其中-1＜x₁＜1＜x₂，注意到（1+x）（1-x）²＞0，
所以f'（x）＞0?-1＜x＜x₁或x＞x₂，f'（x）＜0?x₁＜x＜1或1＜x＜x₂，
即函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，x₁），（x₂，+∞），減區(qū)間為（x₁，1），（1，x₂），
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，1），（1，+∞），無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，x₁），（x₂，+∞），減區(qū)間為（x₁，1），（1，x₂），
其中x1=

a+2- a2+8a

2

，x2=

a+2+ a2+8a

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想，考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力．