Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為a，D為BC中點(diǎn)，M在BB₁上，且BM=B₁M，又CM⊥AC₁．
（1）求證：CM⊥C1D；
（2）求四面體B₁-ADC₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為BC的中點(diǎn)，欲證MC⊥DC₁．可通過MC⊥面ADC₁，而得到，故通過先證AD⊥面BCC₁B₁，從而AD⊥MC利用線面垂直的判斷定理可得到MC⊥面ADC₁即可；
（2）在矩形BB₁C₁C中，由CM⊥DC₁利用三角形相似△DCC₁～△MBC，結(jié)合比例關(guān)系可求得h，從而所求AA₁=，最后利用錐體的體積公式即可求出四面體B₁-ADC₁的體積．
解答：解：（1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為BC的中點(diǎn)，
則AD⊥面BCC₁B₁，從而AD⊥MC             …（2分）
又∵CM⊥AC₁，則MC和平面ADC₁內(nèi)兩相交直線AD，AC₁均垂直，∴MC⊥面ADC₁，…（4分）
于是MC⊥DC₁．…（6分）
（2）在矩形BB₁C₁C中，由CM⊥DC₁知△DCC₁～△MBC，
設(shè)BB₁=h，則BM=h．∴h：a=：h，求得h=．
從而所求AA₁=．…（8分）
連接．
．…（10分）
…（12分）
點(diǎn)評：本小題主要考查空間中直線與直線之間的位置關(guān)系、棱柱、棱錐、棱臺的體積等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．