Question

14．已知等比數列{a_n}單調遞增，記數列{a_n}的前n項之和為S_n，且滿足條件a₂=6，S₃=26．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=a_n-2n，求數列{b_n}的前n項之和T_n．

Answer 1

分析 （1）設單調遞增的等比數列{a_n}的公比為q≠1，由a₂=6，S₃=26．可得a₁q=6，${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=26，解得a₁，q，再利用單調性夾角得出．
（2）b_n=a_n-2n=2×3^n-1-2n，利用等比數列與等差數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設單調遞增的等比數列{a_n}的公比為q≠1，∵a₂=6，S₃=26．
∴a₁q=6，${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=26，解得a₁=18，q=$\frac{1}{3}$，或a₁=2，q=3．
當a₁=18，q=$\frac{1}{3}$，等比數列{a_n}單調遞減，舍去．
∴a₁=2，q=3．
∴a_n=2×3^n-1．
（2）b_n=a_n-2n=2×3^n-1-2n，
∴數列{b_n}的前n項之和T_n=$2×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-2×$\frac{n（n+1）}{2}$=3ⁿ-1-n²-n．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．