Question

（09年西城區(qū)抽樣理）（14分）

 已知f (x)、g(x)都是定義在R上的函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么稱h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個(gè)函數(shù).

設(shè)f (x)=x²+ax，g(x)=x+b(R)，l(x)= 2x²+3x-1，h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個(gè)二次函數(shù).

（Ⅰ）設(shè)，若h (x)為偶函數(shù)，求；

（Ⅱ）設(shè)，若h (x)同時(shí)也是g(x)、l(x) 在R上生成的一個(gè)函數(shù)，求a+b的最小值；

（Ⅲ）試判斷h(x)能否為任意的一個(gè)二次函數(shù)，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：設(shè)h(x) = m f(x)+ng(x)，

則,

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090513/20090513083717002.gif' width=29>為一個(gè)二次函數(shù)，且為偶函數(shù),

所以二次函數(shù)的對(duì)稱軸為y軸，即，

所以，則，

則；                                            ------------3分

（Ⅱ）解：由題意, 設(shè) (R, 且)

     由h (x)同時(shí)也是g(x)、l(x) 在R上生成的一個(gè)函數(shù),

     知存在使得,

     所以函數(shù),

     則,                                     ------------5分

消去, 得,

    因?yàn)?IMG height=17 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090513/20090513083718009.gif' width=38>, 所以,                                ----------7分

    因?yàn)?I>b>0,

    所以  （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）,

    故a+b的最小值為.                                  -----------9分

（Ⅲ）結(jié)論：函數(shù)h(x)不能為任意的一個(gè)二次函數(shù).

      以下給出證明過程.

      證明：假設(shè)函數(shù)h(x)能為任意的一個(gè)二次函數(shù),

      那么存在m₁, n₁使得h(x)為二次函數(shù)y=x², 記為,

即；            ①

                                                                                                                         

同理，存在m₂, n₂使得h(x)為二次函數(shù),記為,

即.                     ② 

      由②-①，得函數(shù),

      令，化簡(jiǎn)得對(duì)R恒成立,

      即對(duì)R恒成立,

      所以, 即，

      顯然，與矛盾,

      所以，假設(shè)是錯(cuò)誤的，

故函數(shù)h(x)不能為任意的一個(gè)二次函數(shù).                   ---------14分

      注：第（Ⅲ）問還可以舉其他反例.