在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=
π
2
，AB=AC=AA1=1，已知G和E分別為A1B1和CC1的中點，D與F分別為線段AC和AB上的動點（不包括端點），若GD⊥EF，則線段DF的長度的取值范圍為
[
5
5
，1)
[
5
5
，1)
．
分析：根據(jù)直三棱柱中三條棱兩兩垂直，本題考慮利用空間坐標系解決．建立如圖所示的空間直角坐標系，設出F、D的坐標，求出向量
DG
， 
EF
，利用GD⊥EF求得關系式，寫出DF的表達式，然后利用二次函數(shù)求最值即可．
解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，0，0），E（0，1，
1
2
），
G（
1
2
，0，1），F(xiàn)（x，0，0），D（0，y，0）由于
GD⊥EF，所以   x+2y-1=0
DF=
x2+y2
=
5y2-4y+1
=
5(y-
2
5
)2+
1
5

當y=
2
5
時，線段DF長度的最小值是
1
5

當y=1時，線段DF長度的最大值是 1
而不包括端點，故y=1不能�。�
故答案為：[
5
5
，1)．
點評：本小題主要考查點、線、面間的距離計算、棱柱的結構特征、空間直角坐標系等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象能力．屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

16、如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2，M、N分別是A1C1、BC1的中點．
（I）求證：BC1⊥平面A1B1C；
（II）求證：MN∥平面A1ABB1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•浦東新區(qū)二模）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC．
（1）若BA=BB1，求證：AB1⊥平面A1BC；
（2）若BA=BC=BB1=2，M是棱BC上的一動點．試確定點M的位置，使點M到平面A1B1C的距離等于
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=
2
，∠ACB=60°，E、F分別是A1C1、BC的中點．
（1）證明：C1F∥平面ABE；
（2）若P是線段BE上的點，證明：平面A1B1C⊥平面C1FP；
（3）若P在E點位置，求三棱錐P-B1C1F的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC．M、N分別是AC和BB1的中點．
（1）求二面角B1-A1C-C1的大�。�
（2）證明：在AB上存在一個點Q，使得平面QMN⊥平面A1B1C，并求出BQ的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆四川成都雙流棠湖中學高二12月月考理數(shù)學卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， ，直線B1C與平面ABC成45°角.

（1）求證：平面A1B1C⊥平面B1BCC1；

（2）求二面角A—B1C—B的余弦值.

 

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