Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F₁（-3，0），一條漸近線的方程是x-2y=0，
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）若以k（k≠0）為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0），
由題設(shè)得，解得，
所以雙曲線方程為．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），
點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，
將①式代入②式，得，
整理得，
此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是，且，
整理得，�、�
由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足，，
從而線段MN的垂直平分線方程為，
此直線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
由題設(shè)可得，
整理得，k≠0，
將上式代入③式得，
整理得，k≠0，
解得或，
所以k的取值范圍是．