已知函數(shù)y=f(x)的定義域是R,且對任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b).并且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0恒成立,f(1)=-1.
(1)證明函數(shù)y=f(x)是R上的減函數(shù);
(2)證明函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù);
(3)求函數(shù)y=f(x)在[m,n](m,n∈Z,m<n)的值域.
解:(1)設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,由題意得 f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1). ∴f(x1)-f(x2)=-f(x2-x1). ∵x1<x2,∴x2-x1>0. 又∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0恒成立, ∴f(x2-x1)<0. ∴f(x1)-f(x2)>0. ∴函數(shù)y=f(x)是R上的減函數(shù). (2)令a=x,b=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=f(0). 令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. ∴f(x)+f(-x)=0. ∴函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù). (3)由(1)得函數(shù)y=f(x)在[m,n]上是減函數(shù),則有f(n)≤f(x)≤f(m). ∵對任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b), ∴f(m)=f[(m-1)+1]=f(m-1)+f(1)=f(m-2)+2f(1)=…=mf(1)=-m, 同理,有f(n)=-n. ∴函數(shù)y=f(x)在[m,n](m,n∈Z,m<n)上的值域是[-n,-m]. |
(1)利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性;(2)定義法證明函數(shù)的奇偶性,只需證明f(-x)=f(x);(3)利用單調(diào)法求函數(shù)的值域. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)y=f(x)的圖象與曲線C關(guān)于y軸對稱,把曲線C向左平移1個(gè)單位后,得到函數(shù)的圖象,且f(3)=1,則實(shí)數(shù)a= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=+是相等的函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的定義域是 ( )
A.[-3,1] B.(-3,1)
C.(-3,+∞) D.(-∞,1]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年人教A版高中數(shù)學(xué)必修四1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=fsinx在[0,π]上的大致圖象是( )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省肇慶市高三復(fù)習(xí)必修一數(shù)學(xué)(B) 題型:解答題
(本題滿分12分)已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),且x≥0時(shí),f(x)=()x-1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)畫出此函數(shù)的圖象.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江西省高三下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)文卷 題型:填空題
.已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x+,且當(dāng)x∈[-3,- 1]時(shí),n≤f(x)≤m恒成立,則m-n的最小值是__________.
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