Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PA、PB、BC的中點．
（I）求證：EF⊥平面PAD；
（II）求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根據(jù)平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD得到AB⊥平面PAD；再結(jié)合EF∥AB，即可得到EF⊥平面PAD；
（II）過P作AD的垂線，垂足為O，根據(jù)平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD；再取AO中點M，連OG得到OG即為面EFG與面ABCD的交線；最后根據(jù)EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO，得到的OG⊥EO求出∠EOM 即可．
解答：解：（I）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，（4分）
∵E、F為PA、PB的中點，
∴EF∥AB，
∴EF⊥平面PAD；                        （6分）
（II）解：過P作AD的垂線，垂足為O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD．
取AO中點M，連OG，EO，EM，
∵EF∥AB∥OG，
∴OG即為面EFG與面ABCD的交線（8分）
又EM∥OP，則EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO，
故OG⊥EO
∴∠EOM 即為所求       （11分）
在RT△EOM中，EM=OM=1
∴tan∠EOM=，故∠EOM=60°
∴平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小是60°．（14分）
點評：本題主要考察直線與平面垂直的判定以及二面角的求法．解決第二問的難點在于找到兩半平面的交線，進而求出二面角的平面角．