Question

如圖，在六面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ED⊥DG，EF∥DG．且AC=EF=1，AB=AD=DE=DG=2．
（1）求證：BF∥平面ACGD；
（2）求二面角D-CG-F的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)DG的中點為M，連接AM、FM，證明BF平行平面ACGD內(nèi)的直線AM，即可證明BF∥平面ACGD．
（2）過點M作MN⊥CG，N為垂足，則∠MNF為二面角D-CG-F的平面角．由題意求得 MN=

CM•MG

CG

=

2

5

，F(xiàn)N=

FM2+MN2

=

2 30

5

，再由cos∠MNF=

MN

FN

，
運算求得結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)DG的中點為M，連接AM、FM，則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形，
所以MF∥DE，且MF=DE．
又∵AB∥DE，且AB=DE，∴MF∥AB，且MF=AB．
∴四邊形ABMF是平行四邊形，即BF∥AM，
又BF?平面ACGD 故BF∥平面ACGD．
 （2）由AD⊥平面DEFG，可得AD⊥ED，再由ED⊥DG，可得ED⊥平面ACGD．由（1）四邊形DEFM是平行四邊形，
可得FM⊥平面ACGD，故有 FM⊥CG．
過點M作MN⊥CG，N為垂足，則∠MNF為二面角D-CG-F的平面角．
由題意可得，AD=CM=2，MG=1，CG=

CM2+MG2

=

5

，∴MN=

CM•MG

CG

=

2

5

．
直角三角形FMN中，由勾股定理求得FN=

FM2+MN2

=

2 30

5

，∴cos∠MNF=

MN

FN

=

2 5

2 30 5

=

6

6

．

點評：題考查直線與平面平行的判定，求二面角的平面角，考查邏輯思維能力，空間想象能力，轉(zhuǎn)化能力，是中檔題．