Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），l與C分別交于M，N，P（﹣2，﹣4）．
（1）寫出C的平面直角坐標(biāo)系方程和l的普通方程；
（2）已知|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），即ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0），可得直角坐標(biāo)方程：y2=2ax（a＞0）．

直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），化為普通方程：y=x﹣2

（2）解：點(diǎn)P（﹣2，﹣4）在直線l上，可得直線l的標(biāo)準(zhǔn)方程： ，代入拋物線方程可得：m2﹣ m+4a+32=0，

△= ﹣4（4a+32）=2a2+16a＞0，（a＞0）．

∴m1+m2= ，m1m2=4a+32．

|PM|=m1，|PN|=m2，|MN|=|m1﹣m2|= = = ．

∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，

∴|MN|2=|PM||PN|，

∴2a2+16a=m1m2=4a+32，化為：a2+6a﹣16=0，a＞0，

解得a=2．

【解析】（1）曲線C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），即ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐標(biāo)方程．直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程：y=x﹣2．（2）點(diǎn)P（﹣2，﹣4）在直線l上，可得直線l的標(biāo)準(zhǔn)方程： ，代入拋物線方程可得：m2﹣ m+4a+32=0，|PM|=m1 ， |PN|=m2 ， |MN|=|m1﹣m2|= ，由于|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，可得|MN|2=|PM||PN|，即可得出．