Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓C上一點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離最大值為4，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）或

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，先利用離心率列出表達(dá)式找到與的關(guān)系，又因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大值為4，利用兩點(diǎn)間距離公式列出表達(dá)式，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032911242159206880/SYS201403291125222951493618_DA.files/image006.png">在橢圓上，所以，代入表達(dá)式，利用配方 法求最大值，從而求出，所以，所以得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，先設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由題意設(shè)出直線方程，因?yàn)橹本�與橢圓相交，列出方程組，消參韋達(dá)定理得到兩根之和、兩根之積，用坐標(biāo)表示得出，由于點(diǎn)在橢圓上，得到一個(gè)表達(dá)式，再由，得到一個(gè)表達(dá)式，2個(gè)表達(dá)式聯(lián)立，得到的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）∵ ∴          （1分）

則橢圓方程為即

設(shè)則

當(dāng)時(shí)，有最大值為

解得∴，橢圓方程是        （4分）

（Ⅱ）設(shè)方程為

由    整理得.

由，得.

               （6分）

∴   則,

由點(diǎn)P在橢圓上，得化簡(jiǎn)得①  （8分）

又由即將，代入得

      化簡(jiǎn)，得

則,    ∴②      （10分）

由①，得

聯(lián)立②，解得∴或      （12分）

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.兩點(diǎn)間的距離公式；3.配方法求函數(shù)最值；4.韋達(dá)定理.