Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1（n∈N⁺），bn=

1

an

．求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：先利用累加法可求得a_n，從而可得b_n，再用裂項(xiàng)相消法可求得S_n．

解答：解：∵a_n+1-a_n=n+1（n∈N₊），∴n≥2時(shí)a_n-a_n-1=n，
∴

a2-a1=2 a3-a2=3 a4-a3=4 … an-an-1=n

，累加得an-a1=

(n+2)(n-1)

2

，
又a₁=1，∴an=

n(n+1)

2

(n≥2)，經(jīng)檢驗(yàn)n=1也成立，
∴an=

n(n+1)

2

(n∈N+)，
∴bn=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Sn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)及數(shù)列求和，屬中檔題，若已知a_n+1-a_n=f（n），則可用累加法求數(shù)列通項(xiàng)；裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．