Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，它的離心率是雙曲線的離心率的倒數(shù).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過橢圓的右焦點作直線交橢圓于、兩點，交軸于點，若，，求證：為定值.

Answer 1

【答案】(1) .

(2)見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，拋物線方程為，其焦點為，根據(jù)題意求得，進(jìn)而根據(jù)離心率求得，即可得到橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)，，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理，得，進(jìn)而得到向量的坐標(biāo)，根據(jù)，，即可求解的值.

詳解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，拋物線方程為，其焦點為，

則橢圓的一個頂點為，即，由，

∴，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）證明：易求出橢圓的右焦點，

設(shè)，，，顯然直線的斜率存在，

設(shè)直線的方程為，代入方程，

整理得，∴，，

又，，，，

而，，

即，，

∴，，所以 .