Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sinωxcosωx-cos2ωx，其中ω為使f（x）能在x=

2π

3

時(shí)取得最大值的最小正整數(shù)．
（1）求ω的值；
（2）設(shè)△ABC的三邊長a、b、c滿足b²=ac，且邊b所對(duì)的角θ的取值集合為A，當(dāng)x∈A時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為 sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

，再根據(jù)在x=

2π

3

時(shí)取得最大值可得

4πω

3

-

π

6

=2kπ+

π

2

(k∈Z)，由此求得ω的最小正整數(shù)值．
（2）△ABC中，由b²=ac 以及余弦定理可得1+2cosB=

a2+c2

ac

≥

2ac

ac

=2，可得0＜B≤

π

3

，即A=(0，

π

3

]，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得當(dāng)x∈A時(shí)，f（x）的值域．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

3

sinωxcosωx-cos2ωx=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

=sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

，
由于f（x）能在x=

2π

3

時(shí)取得最大值，故

4πω

3

-

π

6

=2kπ+

π

2

(k∈Z)，
即ω=

3k+1

2

(k∈Z)，故ω的最小正整數(shù)值為2．…（5分）
（2）△ABC中，由余弦定理可得 b²=a²+c²-2accosB，再由b²=ac，
可得a²+c²-2accosB=ac，化簡(jiǎn)得 1+2cosB=

a2+c2

ac

≥

2ac

ac

=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，取等號(hào)．
求得 cosB≥

1

2

，可得0＜B≤

π

3

，即A=(0，

π

3

]．…（8分）
∴f(x)=sin(4x-

π

6

)-

1

2

，（0＜x≤

π

3

）
∴-

π

6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

，∴sin(4x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，…（10分）
∴函數(shù)f（x）的值域是[-1，

1

2

]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式、余弦定理、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．