Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（1）若a=1，作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）當(dāng)x∈[1，2]，求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）若g（x）=2x²+（x-a）f（x），求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）若a=1，根據(jù)絕對值的幾何意義，求出函數(shù)的表達(dá)式，即可作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出當(dāng)x∈[1，2]函數(shù)f（x）的最小值；
（3）求出g（x）=2x²+（x-a）f（x）的表達(dá)式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)g（x）的最小值．

解答：解：（1）∵a=1，
∴f（x）=|x-1|=

x-1，x≥1 1-x，x＜1

，如圖：
（2）①當(dāng)a∈（-∞，1）時，f（x）=|x-a|=x-a，
∵f（x）在[1，2]遞增，∴f（x）_min=f（1）=1-a．
②當(dāng)a∈[1，2]時，當(dāng)x=a時，f（x）_min=0．
③當(dāng)a∈（2，+∞） 時，f（x）=|x-a|=a-x
∵f（x）在[1，2]減，
∴f（x）_min=f（2）=a-2．
綜上所述f(x)=

1-a，a＜1 0，1≤a≤2 a-2，a＞2

．
（3）①當(dāng)x≥a 時，f（x）=3x²-2ax+a²，
f(x)min=

f(a)，a≥0 f( a 3 )，a＜0

=

2a2，a≥0 2a2 3 ，a＜0

．
②當(dāng)x≤a 時，f（x）=x²+2ax-a²，
f(x)min=

f(-a)，a≥0 f(a)，a＜0

=

-2a2 2a2

．
綜上f（x）_min=

2a2，a≥0 2a2 3 ，a＜0

．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要對參數(shù)a進(jìn)行分類討論．