Question

隨m的取值變化，方程2mx-y+m²=2m+3表示無數(shù)條直線，對于某點P，在且只在這些直線中的某一條上，將所有這樣的點P組成集合M．
（1）判斷點（2，0），（2，-4）是否屬于M，簡述理由；
（2）求點P的軌跡C的方程；
（3）若曲線C與它關(guān)于點Q（a，-3a）對稱的曲線C₁，有兩個不同的交點A，B，求直線AB斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把（2，0）、（2，-4）代入方程，即可求得結(jié)論；
（2）由方程m²+2（x-1）m-y-3=0有唯一解，即可求得軌跡方程；
（3）先確定C₁方程，與拋物線方程聯(lián)立，確定a的范圍，表示出直線AB斜率，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）把（2，0）代入方程有m²+2m-3=0，解得m=1或m=-3，
故（2，0）是其中兩條直線上的點，故（2，0）∉M
把（2，-4）代入方程有m²+2m+1=0，解得m=-1，故（2，-4）∈M
（2）由題意知方程m²+2（x-1）m-y-3=0有唯一解∴△=4（x-1）²+4（y+3）=0，∴所求軌跡方程為y=-x²+2x-4
（3）設(shè)R（x，y）為C₁上任意一點，則R關(guān)于Q（a，-3a）的對稱點（2a-x，-6a-y）必在曲線C上．∴-6a-y=-（2a-x）²+2（2a-x）-4，即y=x²+2（1-2a）x+4a²-10a+4為C₁方程
聯(lián)立

y=-x2+2x-4， y=x2+2(1-2a)x+4a2-10a+4

，消去y得x²-2ax+2a²-5a+4=0
由△＞0得a²-5a+4＜0，∴1＜a＜4，
∴kAB=

y2-y1

x2-x1

=2-(x1+x2)=-2a+2
又1＜a＜4．
∴k_AB∈（-6，0）

點評：本題考查軌跡方程，考查曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．