Question

已知函數(shù)f（x）=x+
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性．
（Ⅱ）判斷f（x）在[1，+∞）內(nèi)單調(diào)性并用定義證明；
（Ⅲ）求f（x）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）要是函數(shù)有意義，只要x≠0即可；由函數(shù)奇偶性的定義，只要判斷f（-x）和f（x）的關(guān)系即可；
（II）由函數(shù)單調(diào)性的定義，在（-∞，-2）上任取兩個(gè)自變量，做差比較兩個(gè)函數(shù)值的大小即可．
（III）由（I）知f（x）是奇函數(shù)，由（II）知f（x）在[1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．得出f（x）在[-3，-1]上是增函數(shù)從而求得其最小值．
解答：解：（I）由題意可知x≠0，
∵∴f（x）是奇函數(shù)（3分）
（II）f（x）在[1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．（5分）
證明：設(shè)x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂
則=∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在[1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．（9分）
（III）由（1）知f（x）是奇函數(shù)，由（2）知f（x）在[1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
∴f（x）在[-3，-1]上是增函數(shù)
∴當(dāng)x=-3時(shí)，f（x）有最小值為（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查求函數(shù)的定義域問題、函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷和證明，屬基本題型、基本方法的考查，難度不大．解答關(guān)鍵是對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)、概念要理解到位．