Question

【題目】已知數(shù)列，滿足，數(shù)列前項和為.

（1）若數(shù)列是首項為正數(shù)，公比為的等比數(shù)列.

①求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

②若對任意恒成立，求的值；

（2）已知為遞增數(shù)列，即.若對任意，數(shù)列中都存在一項使得，求證：數(shù)列為等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】(1) ①證明見解析；②.

(2)證明見解析.

【解析】分析：（1）①由題意得，又得，故可得結(jié)論成立．②由題意可得對任意恒成立，結(jié)合反證法可得．（2）根據(jù)可得，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可得，故得，從而可證得，所以數(shù)列為等差數(shù)列．

詳解：（1）①∵數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，

∴．

又為定值，

∴數(shù)列為等比數(shù)列．

②由題意得，即 ，

整理得對任意恒成立，

∵，

∴.

否則若，，則當時，，與題意矛盾.

故．

（2）因為數(shù)列中都存在一項使得，

即．

又數(shù)列為遞增數(shù)列，

所以，

所以，

因此，

所以數(shù)列為等差數(shù)列．