Question

（2013•香洲區(qū)模擬）如圖所示一系列數(shù)表依次是三項式（a+b+c）ⁿ（n=0，1，2，3，…）展開式系數(shù)按一定規(guī)律排列所得，可發(fā)現(xiàn)數(shù)表的第k行共有k個數(shù)．依此類推，數(shù)表6的第3行第1個數(shù)為

10

，數(shù)表6的第5行第3個數(shù)為

30

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，觀察數(shù)表5中每一行的第一個數(shù)，依次為1、4、6、4、1、…，結(jié)合（a+b+c）⁴的展開式的知識，可得變化的規(guī)律，進而歸納出數(shù)表6的規(guī)律，可得答案．

解答：解：由（a+b+c）⁴=[（a+b+c）²]²
=[a²+2a（b+c）+（b+c）²]²
=[a²+2a（b+c）+（b+c）²][a²+2a（b+c）+（b+c）²]
=a⁴+2a³（b+c）+a²（b+c）²+2a³（b+c）+4a²（b+c）²+2a（b+c）³+a²（b+c）²+2a（b+c）³+（b+c）⁴
=a⁴+4a³（b+c）+6a²（b+c）²+4a（b+c）³+（b+c）⁴
=a⁴+4a³b+4a³c+6a²b²+12a²bc+6a²c²+4ab³+12ab²c+12abc²+4ac³+b⁴+4b³c+6b²c²+4bc³+c⁴
再對照數(shù)表5，可得：
數(shù)表5的第3行第1個數(shù)6為（a+b+c）⁴展開式中a²b²的系數(shù)，數(shù)表5的第5行第3個數(shù)6也為a²b²的系數(shù)，
類似地，可得：
數(shù)表6的第3行第1個數(shù)為（a+b+c）⁵展開式中a³b²的系數(shù)

C 3 5 C

2 2

=10，
數(shù)表6的第5行第3個數(shù)為（a+b+c）⁵展開式中a²b²c的系數(shù)

C 2 5 C 2 3 C

1 1

=30，
故答案為：10，30．

點評：本題考查點是歸納與類比及三項式的相關(guān)運算，同時考查了歸納推理的能力，屬于基礎(chǔ)題．