Question

已知圓C的方程

（1）若點(diǎn)在圓C的內(nèi)部,求m的取值范圍；

（2）若當(dāng)時(shí)

①設(shè)為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最值；.

②問(wèn)是否存在斜率是1的直線l，使l被圓C截得的弦AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若存在，寫(xiě)出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）m>-5 （2）①4 ②存在直線l，其方程為y=x-4或y=x+1

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得m＞-5．再根據(jù)點(diǎn)A（m，-2）在圓C的內(nèi)部，可得 ，由此求得m的范圍．

（2）①表示圓C上的點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)H（4，2）的距離的平方，求得|HC|=5，故的最大值為HC加上半徑后的平方，的最小值為HC減去半徑后的平方．

②假設(shè)存在直線l滿(mǎn)足題設(shè)條件，設(shè)l的方程為y=x+m，則AB中點(diǎn)N是兩直線x-y+m=0與y+2=-（x-1）的交點(diǎn)，即N（?），以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求得|AN|=，|ON|=，由|AN|=|ON|，解得m的值，可得結(jié)論．

試題解析：（1）,∴m>-5.

（2）①當(dāng)m=4時(shí)，圓C的方程即，而表示圓C上的點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)H（4，2）的距離的平方，由于|HC|==5，故的最大值為 （5+3）2=64，的最小值為 （5-3）2=4．

②法一：假設(shè)存在直線l滿(mǎn)足題設(shè)條件，設(shè)l的方程為y=x+m,圓C化為,圓心C（1，-2），則AB中點(diǎn)N是兩直線x-y+m=0與y+2=-（x-1）的交點(diǎn)即N,以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=，

∴|AN|=.

又|ON|=

由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.

∴存在直線l，其方程為y=x-4或y=x+1．

法二：假設(shè)存在直線l，設(shè)其方程為：

由

得： ①

設(shè)A（），B（）

則： ∴

又∵OA⊥OB

∴ ∴

解得b=1或

把b=1和分別代入①式，驗(yàn)證判別式均大于0，故存在b=1或

∴存在滿(mǎn)足條件的直線方程是：

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．