Question

15、已知a是整數(shù)，a²是偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)．

Answer 1

分析：本題利反證法證明：先假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)．設(shè)a=2n+1（n∈Z），平方得a²=4n²+4n+1．因4（n²+n）是偶數(shù)，導(dǎo)出矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)．

解答：證明：（反證法）假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)．
設(shè)a=2n+1（n∈Z），則a²=4n²+4n+1．
因4（n²+n）是偶數(shù)，
∴4n²+4n+1是奇數(shù)，這與已知a²是偶數(shù)矛盾．
由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)．

點評：此題考查了反證法的定義，反證法在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運用，當論題從正面不容易或不能得到證明時，就需要運用反證法，此即所謂“正難則反“．