Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n+1=4a_n-2，且a₁=2．
（Ⅰ） 求證：對任意n∈N^*，a_n+1-2a_n為常數(shù)C，并求出這個常數(shù)C；
（Ⅱ）如果bn=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用S_n+1=4a_n-2，與S_n=4a_n-1-2，推出a_n+1-2a_n=（a₂-a₁）•2^n-1．
通過a₂+a₁=4a₁-2，a₁=2，推出a₂=4．得到C=0．
（Ⅱ）利用bn=

1

anan+1

，求出數(shù)列{b_n}的通項公式，然后求出數(shù)列前n項的和．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n+1=4a_n-2，且S_n=4a_n-1-2，相減得：a_n+1=4（a_n-a_n-1），（3分）
a_n+1-2a_n=2（a_n-a_n-1），∴a_n+1-2a_n=（a₂-2a₁）•2^n-1．
又a₂+a₁=4a₁-2，∵a₁=2，∴a₂=4．∴a_n+1-2a_n=0．
∴C=0．…（6分）
（Ⅱ）∵bn=

1

anan+1

，
∴b1=

1

a1a2

=

1

8

．
bn=

1

anan+1

=

1

22n+1

，
所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
∴Sn=

1 8 (1-( 1 4 )n)

1- 1 4

=

1

6

(1-(

1

4

)n)…（12分）

點評：本題考查數(shù)列通項公式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查計算能力．