Question

7．對于下列命題：其中所有真命題的序號是①②④．
①函數(shù)f（x）=ax+1-2a在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點的充分不必要條件是$\frac{1}{2}＜a＜\frac{2}{3}$；
②已知E，F(xiàn)，G，H是空間四點，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的充分不必要條件；
③“a＜2”是“對任意的實數(shù)x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”的充要條件；
④“0＜m＜1”是“方程mx²+（m-1）y²=1表示雙曲線”的充分必要條件．
⑤$cos{20°}•cos{40°}•cos{80°}=\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)零點的存在定理，可判斷①；根據(jù)充要條件的定義，可判斷②③④，利用二倍角公式，可判斷⑤．

解答 解：a=0時，函數(shù)無零點，
a≠0時，函數(shù)f（x）=ax+1-2a在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點，
即f（0）f（1）＜0，即（1-2a）（1-a）＜0，
解得：$\frac{1}{2}＜a＜1$，
故①函數(shù)f（x）=ax+1-2a在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點的充分不必要條件是$\frac{1}{2}＜a＜\frac{2}{3}$，正確；
已知E，F(xiàn)，G，H是空間四點，
若E，F(xiàn)，G，H四點不共面，則直線EF和GH異面，
故②命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的充分不必要條件，正確；
|x+1|+|x-1|的最小值為2，故“a≤2”是“對任意的實數(shù)x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”的充要條件；
故③錯誤；
④“方程mx²+（m-1）y²=1表示雙曲線”即m（m-1）＜0，
解得：0＜m＜1
故“0＜m＜1”是“方程mx²+（m-1）y²=1表示雙曲線”的充要條件．
故④正確；
cos20°•cos40°•cos80°=$\frac{sin20°•cos20°•cos40°•cos80°}{sin20°}$=$\frac{\frac{1}{2}sin40°•cos40°•cos80°}{sin20°}$=$\frac{\frac{1}{4}sin80°•cos80°}{sin20°}$=$\frac{\frac{1}{8}sin160°}{sin20°}$=$\frac{1}{8}$，故⑤錯誤．
故答案為：①②④

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了充要條件，三角函數(shù)，函數(shù)的零點，難度中檔．